SAYILAR
ARASINDA YOLCULUK
Rakamların
nasıl oluştuğunu, bugün kullandığımız şeklini ne zaman aldığını biliyor
musunuz? Hiç merak ettiniz mi? Fransa'da 6. Sınıf öğrencileri bir gün kendi
aralarında rakamların nereden geldiğini çok merak ettiklerini tartışıyorlarmış.
Matematik öğretmenleri de tartışmaya katılmış. O da rakamların bu gün
kullandığımız şeklini ne zaman aldığı ile ilgili soruya bir yanıt verememiş.
Hemen orada bu konu ile ilgili araştırma yapamaya karar vermiş. Bu konuda 2000
sayfalık 2 ciltlik dev bir eser ortaya çıkarmış. Basit bir merak matematiğe çok
önemli bir eser kazandırmış. Rakamlar bizim kullandığımız durumuna gelinceye
dek bir çok evreler geçirmiştir. Biz, bu açıdan çok şanslıyız. Çünkü, her şey
önümüze hazır geldi.
Bir
öğretmene sormuşlar. "İlkokula yeni başlayan öğrenciler daha ilk günde
aritmetik hakkında ne bilmeleri gerekir?" o da " 1 den 100 e kadar olan
sayılarla dost olması gerekir." demiştir. Sayılarla nasıl dost olabiliriz?
Bu en azından toplama işlemini görünce paniğe kapılıp terlemeye başlamamak demektir.
Sayılara her zaman her yerde rastlarız. Bazı özeliklerini ve en azından
aralarındaki bazı ilişkileri biliyoruz. Onlarla ilgili bir çok şey öğrendik ve
bu gerçeklerin bir bölümünü biz kendimiz keşfettik. Hepimiz beynimizde
sayılarla ilgili gerçekleri saklarız. Örneğin 144, 12 nin karesidir. 169, 13 ün
karesidir. 16, 32,64,128 ve 512 sayıları 2 nin tam kuvvetleridir. Bilgisayar meraklıları, bilgisayar belleklerinin
tanımında ve bilgisayar etiketlerinde geçtiği için bu sayıları iyi tanırlar.
Hardy
1729 no lu taksiyle geldiğini ve bu numaranın ona kendisi için önemsiz
gözüktüğünü ve uğursuz bir şey olmamasını umduğunu söyleyince Ramanajuan hemen
şu yanıtı verdi."Hayır, bu çok ilginç sayıdır; bu iki küp toplamı olarak
farklı iki şekilde ifade edilebilen sayıların en küçüğüdür." 1729=12³ +1³=10³+9³
Sayılarla
çalışan herkes, doğal olarak bir çok yararlı bilgileri depolar. Hepimiz 9 un
tek basamaklı kare sayıların en büyüğü olduğunu biliriz. Bu çok önemli mi? Hayır.
Fakat şunu da fark edersiniz; kare olan sayıdan 1 çıkarınca elde edilen sayı,
aralarındaki fark iki olan iki doğal sayının çarpımıdır. Örneğin; 16-1=15 ve 15
=3.5 benzer olarak siz de böyle bir çok sayı bulabilirsiniz.
En çok
tanıdığımız sayılar karelerdir;
1 4
9 16 25 36 49
64
Bu
kareler arasındaki farkın gitgide büyümesi dikkatimizi çeker.
1 4
9 16 25 36 49 64 81 100 ...
3 5
7 9 11 13 15 17 19
Bir de
bakıyorsunuz kare sayıların farkları, tek sayılar dizisinden başka bir şey
değil.
Bu
düşünceyi daha önce sözünü ettiğimiz 2 nin kuvvetleri ile deneyebiliriz.
2 4
8 16 32
64 128 256
...
2 nin
her kuvveti solundaki sayının iki katıdır. Bu bize 2 nin soluna 1 yazmamız
gerektiğini anlatır.
1 2 4
8 16 32
64 128 256
...
Şimdi
de farkları yazalım:
1 2 4
8 16 32
64 128 256
...
1 2
4 8 16 32 64
128 256 ...
Görüyoruz
ki farklar dizisi orijinal dizinin tekrarı oluyor. Demek ki kareler dizisinden hayli farklı bir dizi
ile karşılaştık sorusunun yanıtı hayırdır.
Küpler
dizisini düşünelim:
1 8
27 64 125
216 343 512
...
Bu dizi
kareler dizisinden daha çabuk büyüyor. Ne kadar hızlı büyüdüğünü fark etmek
için farklarını yazalım.
1 8
27 64 125
216 343 512
...
7 19
37 61 91 127 169
12 18 24 30
36 42
En alt
dizi farkların farkıdır. O da artıyor ama o kadar hızlı değil. Her seferinde 6
artıyor. Böyle örnekleri çoğaltabiliriz. Hatta matematikçiler son yazdığımız
diziye bakarak diğer tüm dizilerde 6 nın gizini aramışlardır. Örneğin; küplerin
farkını şöyle yazmışlar:
1 8 27 64 125 216 343 512 ...
1x6+1 3x6+1
6x6+1 10x6+1
15x6+1 21x6+1 28x6+1
Bu
durumda 6 nın çarpıldığı sayıların bir özelliği olduğundan şüphelenilir. 6 nın
çarpıldığı sayıları sırasıyla yazalım.
1 3
6 10 15
21 28 36 45 ...
Matematikçiler problemler
hakkında şöyle derler: "Bir problem diğerine yol açar ve bir doğru düşünce
bir çok düşünceye götürür insanı."
Şimdi bu dizinin oluşturduğu
sayıların farkına bakalım:
1 3
6 10 15
21 28 36 45 ...
2 3
4 5 6 7 8 9 ...
6 ile
çarpılan sayılar dizisi arasındaki farkların farkları bizi 1 in eksik olduğu
doğal sayılar dizisine götürür. Bu özellik bize dizinin 1 le başlaması
gerektiğini düşündürür. Bu ise ancak küpler dizisinin 0 ile başlaması ile
mümkündür. Bakın sayılar arasında yaptığımız yolculuk bizi nasıl ilginç sonuçlara
götürdü. Böyle bir çok modeller oluşturabiliriz.
Fransız
bir hakim olan Fermat matematikle amatörce uğraşıyordu. O da sayıların
arasındaki bazı gizleri keşfetmişti. Fermat her tam sayının dört karenin toplamı
olduğunu ileri sürmüştü. Fakat bir çok tam sayı ise dörtten az karenin
toplamıdır. Fakat 7 asla üç karenin toplamı değildir.
İngilizce'de "Ne demek
istediğini anlıyorum" yerine " Ne demek istediğini görüyorum"
derler. Modern İngilizce'de "görmek" ekseriya "anlamak"
yerine kullanılır. Matematikte görüş, doğruca önümüzdeki bir şeye bakmaktan
mecazi anlamda "görmeye" kadar değişir. Sylvester, matematiğin
"farkların benzerliği ile benzerliklerin farkını anlamak" olduğunu
söyler. Matematikçiler ilişkileri ve bağlantıları görürler, ayrıca fark
edilmesi zor özellikleri de algılarlar. Bunu geometride grafikleri çizerken
aritmetik ve cebirde olduğu kadar kolaylıkla yaparlar.
Şimdi
bazı matematik bilmecelerinin yanıtlarını birlikte arayalım:
1. 1 den
daha küçük olan en büyük sayı nedir?
2. Hepimiz
farklıyız, sonsuz sayıdayız, hepimiz birbirimize eşitiz.
3. Bir
üçgenin merkezi neresidir?
4. Ben
bir sayıyla o sayıyı daha küçük veya daha büyük yapmadan çarpılırım. Ben neyim?
5. Kendimle çarpılınca kendime eklenirim. Ben
neyim?
6. Sürekli
dönerim ama asla çıkış noktasına ulaşamam.
Soruların
yanıtını verdikten sonra biraz düşünelim. Matematik yaşam boyu yaptığımız en güzel yolculuktur. Sayıla bizi bir çok bilinmeyenin
içinde gezdirir ve çoğu kez yolculuğumuz bilinenlerin içinde sona erer.
Matematik
ister günlük yaşamda saymak ve ölçmekte, ister problem ve bilmeceleri çözmekte,
ister füzeler, yüzen cisimler, kaldıraçlar, teraziler veya manyetik kuvvet çizgilerini bilimsel olarak incelemekte
kullanılsın, eninde sonunda köklerinden kopar ve kendi yaşamını yaşamaya
başlar. Böyle yapmakla daha kuvvet kazanır; çünkü artık yalnız belli durumlarda
değil, benzer bütün durumlarda kullanılacaktır. Böylece daha soyut daha oyunvari
olur. Sonra ne olur? Deneyim arttıkça oyun daha iyi oynanır. İlk bulunduğunda
şaşırtıcı olan sonuçlar; giderek daha tanıdık, açık, hatta apaçık hal alır.
Artık esrarlı ve uğraştırıcı bir yanı kalmamıştır. Giderek daha fazla sayıda
problem standart yöntemlerle çözülecektir. Ve böylece kullanılabilen
tekniklerin ufku genişleyecektir. Bu nedenle uygulamalar giderek kolaylaşacak ve en kuvvetli matematikçilerin dikkatini
gerektiren zor ve uğraştırıcı problemleri bulmak zorlaşacaktır.
Rakamların
günümüze değin yapmış olduğu yolculuğu incelersek bu gün ne denli şanslı
olduğumuza seviniriz.